À venir.

À venir.

Cet article se concentre sur la régularité globale-en-temps des problèmes paraboliques linéaires abstrait dans les espaces de Banach, où l'opérateur qui joue le rôle du Laplacien dans l'équation de la chaleur n'est pas nécessairement inversible. Ici, l'espace de Lebesgue est remplacé par un espace de Sobolev. Afin de préserver un contrôle global en temps, l'espace de Sobolev se doit d'être homogène, et les espaces abstraits correspondant à la variable d'espace doivent également présenter une "version homogène". Cela implique que pour être utilisable dans des cas concrets, les espaces normés en jeu peuvent ne plus être complet ni être complétés, ce que la théorie abstraite doit prendre en considération. Cela se reflète jusque dans la description de l'ensemble des données initiales. Le résultat pour la théorie générale, en particulier pour le choix des données initiales, même dans le cas des espaces Lq pour les opérateurs non-inversibles ne semblait pas bien connu jusqu'alors. 

Ce papier donne une construction élémentaire des espaces de Sobolev et Besov homogènes sur le demi-espace plat, en levant l'ambiguïté sur la définition de certaines quantités ou notions. On peut par exemple définir la trace sur le bord et utiliser des lois-produit bien définies, mais cela se fait au pris de la perte de complétude pour les espaces de haute régularité. On est principalement restreint au cas des espaces essentiellement réflexifs, mais certains résultats peuvent s'affranchir de la notion de complétude sous certaines conditions. Cette construction étend celle initiée par H.Bahouri, J.-Y. Chemin et R. Danchin.