Cet article vise à étudier le système dit de Boussinesq dans des espaces de fonctions critiques au sein de domaines bornés de type Lipschitz et C1,α dans IR³. Nous prouvons l'existence pour des temps courts et des données arbitraires, ou globalement en temps pour de petites données initiales. Ce modèle décrit l'écoulement d'un fluide en prenant en compte sa température, dont le champ de vitesses transporte la température, laquelle agit ensuite comme une force sur le système. Deux cadres différents sont envisagés.

Le premier cadre concerne une théorie Lp avec un champ de vitesses dans  L2(W1,3)  et une température dans L2(L3/2), en tirant parti de la régularité maximale L2, et où l'on doit supposer une régularité C1,α pour le bord de l'ouvert. Dans ce cas, on obtient également l'unicité dans la classe des solutions faibles.

Le second cadre traite de l'existence et de l'unicité dans les espaces de Besov Bsp,1 par régularité maximale L1 en temps. On obtient l'existence et l'unicité dans la classe des solutions dites mild pour des domaines Lipschitziens bornés arbitraires. A nouveau, lorsque le bord de l'ouvert présente une régularité C1,α, on obtient l'unicité dans la classe des solutions faibles.

Dans les deux cas, nous montrons que pour des temps longs, la vitesse du fluide et la température se stabilisent exponentiellement vers un équilibre. La température limite est alors la température initiale moyenne du fluide, ce qui est très pertinent d'un point de vue physique.

Afin de fournir de tels résultats — qui combinent conceptuellement des domaines bornés peu lisses et des espaces de fonctions critiques — il a fallu effectuer une préparation approfondie du côté de la théorie linéaire. Les deux cadres reposent alors sur des arguments de théorie des opérateurs et des règles produit dans les espaces de Besov, et ce, même dans le cas de la théorie Lp ! A partir de là, de nouvelles connaissances supplémentaires sur la régularité de l'opérateur de Stokes et du Laplacien de Neumann sur les domaines Lipschitziens étaient nécessaires. Heureusement, une fois bien préparées, cette théorie linéaire et les règles produits appropriées simplifient grandement les approches similaires précédentes pour les estimations non linéaires du système.

Ce mémoire a pour objet d'étude la régularité elliptique et parabolique du problème de Stokes dans les ouverts peu réguliers avec une description essentiellement optimale des gains de régularité. On inclue également un traitement des espaces pathologiques comme l'espace des fonctions bornées. Toutes les propriétés classiques sont étudiées (comme le fonctionnel calcul holomorphe borné de l'opérateur de Stokes et la description du domaine des puissances fractionnaires) en s'appuyant essentiellement sur une étude du problème résolvent par la méthode des multiplicateurs de Sobolev introduite par Maz'ya et Shaposhnikova. Ce travail se veut essentiellement exhaustif et traite comme un cas particulier les ouverts à régularité Hölderienne arbitrairement proche de C¹, et même certains ouverts dont la régularité du bord se situe entre C¹ et Lipschitz en un certain sens.

Surprenamment, nous obtenons de nouveaux résultats même dans le cas du demi-espace plat. Par exemple, une description explicite pour le générateur du semigroupe de Stokes sur  L∞ qui était une question ouverte depuis plus de 20 ans. Dans le cas des ouverts Hölderien, on établit également  des résultats de décroissance L¹ pour le semigroupe.

De plus : la méthode déployée ici est totalement générale et peut s'appliquer telle quelle à une large classe d'opérateurs elliptiques avec des coefficients peu lisses et assujettis à des conditions au bord variées. Sur l'essentiel des résultats comparables obtenus dans la littérature, notre méthode nous fait gagner essentiellement une dérivée sur la régularité du bord de l'ouvert.
Ce document contient également un outillage relativement exhaustif pour s'attaquer à l'essentiel des problèmes de mécanique des fluides visqueux incompressibles dans les domaines peu lisses, éventuellement non-bornés.

Cet article se concentre sur une construction des espaces de Sobolev et Besov homogènes sur des demi-espaces rugueux pour lesquels un théorème de trace optimal est prouvé. Les cas particuliers p=1 et p=∞ sont également traités. Les résultats d'interpolation réelle, de densité, et même dans une certaine limite les résultats de dualité, ne sont plus subordonnés à la complétude des espaces en jeu. La construction et l'étude se veut quasi-exhaustive (avec quelques reliquats techniques), ce qui fait que le manque complétude rend malheureusement les preuves techniques et peu accessibles.

Notons qu' à ma connaissance, et jusqu'à aujourd'hui, même le cas des demi-espaces lisses semblait non-traité dans la littérature.

À venir.

Cet article se concentre sur la régularité globale-en-temps des problèmes paraboliques linéaires abstrait dans les espaces de Banach, où l'opérateur qui joue le rôle du Laplacien dans l'équation de la chaleur n'est pas nécessairement inversible. Ici, l'espace de Lebesgue est remplacé par un espace de Sobolev. Afin de préserver un contrôle global en temps, l'espace de Sobolev se doit d'être homogène, et les espaces abstraits correspondant à la variable d'espace doivent également présenter une "version homogène". Cela implique que pour être utilisable dans des cas concrets, les espaces normés en jeu peuvent ne plus être complet ni être complétés, ce que la théorie abstraite doit prendre en considération. Cela se reflète jusque dans la description de l'ensemble des données initiales. Le résultat pour la théorie générale, en particulier pour le choix des données initiales, même dans le cas des espaces Lq pour les opérateurs non-inversibles ne semblait pas bien connu jusqu'alors. 

Ce papier donne une construction élémentaire des espaces de Sobolev et Besov homogènes sur le demi-espace plat, en levant l'ambiguïté sur la définition de certaines quantités ou notions. On peut par exemple définir la trace sur le bord et utiliser des lois-produit bien définies, mais cela se fait au pris de la perte de complétude pour les espaces de haute régularité. On est principalement restreint au cas des espaces essentiellement réflexifs, mais certains résultats peuvent s'affranchir de la notion de complétude sous certaines conditions. Cette construction étend celle initiée par H.Bahouri, J.-Y. Chemin et R. Danchin.